Question

如图，边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，

【解析】

（1）因为为正方形，所以．

因为平面,,，所以.

（2）连结

因为是的中点，且为矩形，所以也是的中点．因为是的中点，所以∥，因为,所以MN∥平面CDFE．

(3)过A点作AG⊥FB交线段于点P，P即为所求。

因为CB⊥平面ABEF，

所以CB⊥AP，

因为AP⊥FB，CB∩FB=B，

所以AP⊥平面BNM，

所以AP⊥MN.

因为△AFP∽△BAF，

所以FP/AF=3/4，

因为AF=3，

所以FP=9/4.