Question

已知是定义在上的奇函数，且.若对任意的，，都有.

（1）判断函数的单调性，并说明理由；

（2）若，求实数的取值范围；.

（3）若不等式对任意和都恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）在上是增函数，证明见详解（2）（3）.

【解析】

（1）设任意，满足，利用函数单调性定义证明（2）根据函数单调性可化为，求解即可（3）不等式对任意和都恒成立转化为对任意都恒成立，令，转化为对恒成立，根据一次函数的性质即可求解.

（1）在上是增函数，证明如下：

设任意，满足,

,

即，

所以函数在上是增函数.

(2)因为函数在上是增函数，

所以原不等式可化为，

解得，

所以实数的取值范围为.

（3）因为不等式对任意和都恒成立，

所以对任意都恒成立，由（1）知

故对任意都恒成立，

即对任意都恒成立，

令，

则只需，解得

所以实数的取值范围为.