Question

已知函数,在区间上的值域为.

（1）求的值；

（2）若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）;（2）

【解析】

（1）先求函数的开口和对称轴,根据对称轴结合” 函数在区间上的值域为”分情况讨论, 即可得的值.（2）将（1）中的代入函数,结合,分离常数,设新函数,利用二次函数的性质求出,从而从求得的取值范围.

解: （1）已知函数,

开口向上,对称轴,

有因为在区间上的值域为.

①当时, ,解得,

②当时, ,解得不符舍去,

③当,,解得不符舍去,

综上所述: .

（2）由（1）得,所以,

不等式,即.

,

设,

,

令,

则,

,,

则,即,

所以,

所以

,

故的取值范围为.