Question

已知,定义:表示不超过的最大整数,例如:,.

（1）若,写出实数的取值范围；

（2）若,且,求实数的取值范围；

（3）设,,若对于任意的,都有,求实数的取值范围.

Answer

（1） （2）；（3）

【解析】

（1）由表示不超过的最大整数,可得的取值范围为；

（2）由指数函数的单调性,可得,则,即有,考虑,解不等式即可得到所求范围；

（3）化简得在单调递减,在单调递增.求得的最值,可得所以在恒成立,讨论当时,当时,由新定义和二次函数的最值求法,即可得到所求的范围.

解:（1）若,

则表示不超过的最大整数,

所以,

故的取值范围为；

（2）若,可得,

,

则,,

,

当时,,不符合.

当时,,不符合.

则时,,不符合.

当时,

所以,解得.

所以实数的取值范围为；

（3）

在单调递减,在单调递增.

可得,,

则,

所以在恒成立,

即,整理得在恒成立,

当时, 在恒成立,即,

当时, 在恒成立,即,

综上可得: 实数的取值范围为.