Question

已知函数的定义域为.

（1）若是单调函数，且有零点，求实数a的取值范围；

（2）若，求的值域；

（3）若恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，以及零点存在性定理，求得的取值范围.

（2）当时，利用的单调性，求得的值域.

（3）将对称轴分成在区间内和外两种情况，结合函数的最值进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.

（1）因为是单调函数，所以，得或.

因为是单调函数，且有且只有一个零点，所以，

即，得或.因此实数a的取值范围为.

（2）当时，在单调递减，在单调递增，

所以，因此的值域为.

（3）因为二次函数在单调递减，在单调递增，

的定义域为，所以等价于

或．解得或或.

因此实数a的取值范围为.