Question

如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.

(1)证明：平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.

【解析】

（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；

（2）取的中点，连接，得平面，以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；

（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，由与平面的法向量垂直求得，如果求不出，说明不存在.

（1）∵平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，∴平面；

（2）取的中点，连接，由于是等边三角形，所以，由平面平面ABCD，得平面，，

以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，设平面的一个法向量为，

则，取，则，，，

平面的一个法向量为，

，

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为；

（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，

由（2），，

，又平面的一个法向量是，

∴，解得，∴.

∴棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.