Question

已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.

Answer

（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.

【解析】

（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；

（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．

（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，

所以椭圆方程为．

（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，

由，得，

，，

所以，，

，

所以当时，，，为常数．

若，则，，，，，

综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.