Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，且至少存在两个零点，求的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）先求得,分别讨论与的情况,令,则或,讨论与及的关系,进而求解即可；

（2）由（1）可得当时,有两个极值点,且至少存在两个零点,可得极值点为和,则可得,由,设,进而求解的范围即可

【解析】
（1）由题,的定义域为,

,

当时,,则当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增；

当时,令,得或,

当时,,所以在上单调递减,在上单调递增；

当时,即时,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减；

当时,在上恒成立,所以在上单调递减；

当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减

（2）由（1）知,因为有两个极值点,,

所以或,

因为,所以不合题意；

因为时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,

所以即,

解得,

此时,

记,则,

因为,所以,所以在区间上单调递减,

所以,解得,

所以,的取值范围为