Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

（1）求证:AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）30°

【解析】

（1）连接交于点，连接，易得，，所以平面，从而得到；（2）根据得到，从而得到，，为二面角的平面角，再求出，，得到，从而得到二面角.

（1）连接交于点，连接，

由题意，底面为正方形，

侧棱，

所以，

在正方形中，，

又因为，且平面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以.

（2）连接，因为平面，

所以，，

又因为在和中，

，，，

所以.

所以

又因为的中点，

所以，.

所以为二面角的平面角，

又因为，在中由等面积法，

得，

，

在中，，，

所以.

故二面角的大小为.