Question

已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴交于两点，.

（1）求圆C的方程；

（2）已知圆M:，设为坐标平面上一点，且满足:存在过点且互相垂直的直线和有无数对，它们分别与圆C和圆M相交，且圆心C到直线的距离是圆心M到直线的距离的2倍，试求所有满足条件的点的坐标

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）圆心在上，从而得到圆心坐标和半径，得到圆的方程；（2）根据题意设直线斜率为，表示出和的方程，从而表示出圆心C到直线的距离和圆心M到直线的距离，整理后与无关，得到，的方程组，解得的坐标.

（1）因为，在圆上，

所以圆心在弦的垂直平分线上.

由即，

即，，

故圆的方程为

（2）由题意知直线和的斜率均存在，和互相垂直，设斜率为，

设点，直线，直线，

则点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，

从而，

化简得或，

又因为关于的方程有无数多解，

则或，

解得或，

故点的坐标为或.