Question

己知函数是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，且函数在上最小值为，求的值.

Answer

（1）0（2）（3）2.

【解析】

（1）是定义域为的奇函数,由，得到的值；（2）根据得到的范围，从而得到的单调性，结合的奇偶性，得到将不等式转化为在上恒成立，通过得到的范围；（3）由得到，从而得到解析式，令，得到，动轴定区间分类讨论，根据最小值为，得到的值.

（1）因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数

（2）由（1）知:，

因为，所以，

又且，所以，

所以是.上的单调递减函数，

又是定义域为的奇函数，

所以，

即在上恒成立，

所以，

即，

所以实数的取值范围为

（3）因为，所以，

解得或(舍去)，

所以，

令，

则，

因为在R上为增函数，且，

所以，

因为在上最小值为，

所以在上的最小值为，

因为的对称轴为，

所以当时，

，解得或（舍去），

当时，，解得（舍去），

综上可知:.