Question

已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性；

（3）方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由？（注：区间的长度）．

Answer

（1） （-1,1）

（2） 奇函数

（3）

【解析】

【试题分析】（1）根据对数真数为正数，求得函数的定义域为.（2）利用奇偶性的定义判断出，故函数为奇函数.（3）将原方程等价变形为，构造函数，利用二分法可判断出函数的根在区间.

【试题解析】

(1)∵

∴－1＜x＜1，故函数的定义域为(－1,1)．

∵f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称

∴f(x)为奇函数．

(3)由题意知方程f(x)＝x＋1等价于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，可化为(x＋1)2x＋1＋x－1＝0.

设g(x)＝(x＋1)2x＋1＋x－1，x∈(－1,1)，

则g＝×2－－1＝＜0，

g(0)＝2－1＝1＞0，

∴gg(0)＜0，故方程在上必有实根．

又∵g＝×2－－1＝

＝＞0，

∴gg＜0，

故方程在上必有实根．

又∵区间长度－－＝，

∴满足题意的一个区间为.