Question

如图，多面体中，矩形底面，，且，，为等边三角形，.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据已知条件由面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，根据中边与角的关系确定垂直关系，即可证明线面垂直.

（2）由题意，根据直线与平面所成的角的正弦值作出线面角，求，再求解长，即可根据锥体体积公式，求解三棱锥的体积

（1）因为为等边三角形，，

则，

又，则，

在中，由余弦定理求得，则，

则.

因为平面底面，，

AB为平面ABCD和底面的交线，

得底面，则，

又，，故平面.

（2）在中作边上的高，

则为直线与平面所成的角.

在中，，，则，

，

在中作边上的高，

则.