Question

已知中心为原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且椭圆C的长轴是圆的一条直径.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆M交于P、Q两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的离心率公式，列方程，再由椭圆长轴是圆的直径，判断，即可求解；

（2）根据题意，设直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，消元得到关于的一元二次方程，使判别式，列出，由直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，列出方程，再代入，化简求解参数值，再根据直线与圆相交利用几何法求解弦长，并根据判别式，求解参数范围，代入，即可求取值范围.

（1）设椭圆方程为，

由已知，得，

由椭圆C的长轴是圆的一条直径，得，则.

得椭圆方程为.

（2）设，

联立方程，得，

，

设，，则，（*）

因为直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，得

，将（*）式代入，得

，因为，则，得，

由OA、OB的斜率存在，及，得

，得，且，

设原点O到直线l的距离为d，则，

，因为，且，

故.