Question

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）最小值为，此时点的坐标为．

【解析】

（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式、，把极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求得椭圆上的点到直线的距离为，可得的最小值，以及此时的的值，从而求得点的坐标.

（Ⅰ）对曲线：，，

∴曲线的普通方程为．

对曲线：，

∴．

∴曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）设曲线上的任意一点为， 则点到曲线：的距离，当，即时，，此时点的坐标为．