Question

已知椭圆E:()的左右焦点分别是､，离心率，点在椭圆E上．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，分别过､作两条互相垂直的弦AC与BD，求的最小值．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由离心率求出关系，化简标准方程，将点代入方程，即可求解；

（2）先考率两直线斜率为0或斜率不存在的情况，当两直线斜率存在且不等于0，设出直线方程，可以是点斜式（或轴截距式），与椭圆方程联立，求出相交弦长，进而得到关于斜率（或斜率倒数）的目标函数，转化求函数的最值，即可求解.

解:（1）由已知，，

将点代入得，

，

椭圆E方程为:．

（2）解法一:由已知，

①当轴或在轴上时，

，，或，，

②当直线斜率存在且不为0时，

，设直线AC方程为:

联立得:

设，

则，

，由椭圆对称性，以代换上式中的k得:

，

思路一:

，

当且仅当即时，取“=”

而，有最小值

思路二:设，则，

当且仅当，，

即时，有最小值．

而，有最小值

解法二:由已知，设直线AC:

联立得:

设，则，

，由椭圆对称性，以代换上式中的得:

．

思路一

，

当且仅当即时，取“=”，

有最小值．

思路二:设则

当且仅当，即时，有最小值．

有最小值．