Question

已知函数是自然对数的底数 ）.

（1）当是，求证： ；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）

【解析】

(1) 当时，令.根据函数的单调性,求得函数的最大值,利用基本不等式的性质,即可求证；

(2) 由题意可知:要使函数有两个零点，则需在上有唯一极大值点,且, 则, 构造辅助函数,求导,根据函数单调性即可求得，可得取值范围.

（1）当时，∴令.得：,

且在上单增，在上单减，且,

∴；

(2) 对,求导,得，

要使函数有两个零点，则需在上有唯一极大值点,且, 
则,即 ,则， 
，且, 
令，∴在上单调递增，

,∴,则, 
又在上单增,由, 得
综上, , 
所以的取值范围是:.