Question

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）见解析 （3）

【解析】

（1）连接交于,连接,根据中位线定理证明,即可证得平面.

（2）先证平面.又∵平面,则.

（3）建立空间直角坐标系,列出各点的坐标表示,求出平面的法向量为,又因平面,所以为平面的一条法向量,利用余弦公式求解即可得出二面角的余弦值.

解:（1）证明:连接交于,连接.

因为,分别为,的中点,所以为的中位线

∴,又平面,平面,∴平面

（2）在中,,点为的中点,

∴,则平面.

又∵平面,则.

（3）取中点,连接.

依题意可得为等边三角形,∴,

又因为底面,,平面

则,

建立以为坐标原点,如图所示坐标系,则有:

,,,,,,

,,设平面的法向量为,

则,∴

∵平面,所以为平面的一条法向量,且

∴