Question

已知函数f（x）＝2^x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．

（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；

（2）若存在x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）＝g（x₂），求实数b的取值范围；

Answer

(1) （0，+∞） (2) [，+∞）

【解析】

（1）解指数不等式2x＞2﹣x可得x＞﹣x，运算即可得解；

（2）由二次函数求最值可得函数g（x）的值域为，函数f（x）的值域为A＝[，+∞），由题意可得A∩B≠，列不等式b+4运算即可得解.

【解析】
（1）因为f（x）＞0⇔2x0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．

∴实数x的取值范围为（0，+∞）．

（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．

∵f（x）＝2x在[1，+∞）上单调递增，

又 ∴A＝[，+∞）．

∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4．

∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，

即

依题意可得A∩B≠，

∴b+4，即b．

∴实数b的取值范围为[，+∞）．