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在棱长为的正四面体ABCD中,G为△BCD的重心,M为线段AG的中点,则三棱锥的...

在棱长为的正四面体ABCD中,G为△BCD的重心,M为线段AG的中点,则三棱锥的外接球的体积为_____.

 

【解析】 如图,正四面体中,连结、,可求得的外接圆半径,进而求得、的值,设三棱锥的外接球球心为,半径为,可知点在射线上,连结,可得,从而得到,即可求出的值,进而求得三棱锥的外接球的体积即可. 如下图,正四面体中,G为△BCD的重心,连结、,则,,, 设三棱锥的外接球球心为,半径为,则点在射线上,连结,则,又,,则,解得,所以三棱锥的外接球的体积为. 故答案为:.
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