Question

如图，直三棱柱的所有棱长相等，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）当是的中点时，求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设三棱柱的棱长为2，为的中点，连结，易证平面，取的中点，连结，易知直线两两垂直，故以为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，从而可证明，，进而可证明平面；

（2）结合（1），分别求出平面、平面的法向量，然后利用空间向量法求出二面角的余弦值，进而可求出答案.

（1）设三棱柱的棱长为2，为的中点，连结，易知，又平面平面，所以平面，取的中点，连结，易知直线两两垂直，故以为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，，

因为，，所以，，即，，又，所以平面.

（2）由（1）知，，，，

则，，设平面的法向量为，

则，即，令，可得，，可得平面的一个法向量，

平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，则，

则.