Question

已知椭圆：的离心率，且直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，若，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）结合离心率的值，可将椭圆方程化为，将椭圆方程与直线联立，可得到关于的一元二次方程，令，可求出的值，进而求得椭圆方程；

（2）求出点、的坐标，可求得的值，①若直线的斜率不存在，可求得坐标，进而求出的值；②若直线的斜率存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，可得到的表达式，由，可求得的取值范围，结合①②，可求出答案.

（1）由题意，，所以，，则椭圆方程可化为：，

联立，消去得，，

则，解得，则，，

故椭圆方程为：.

（2）直线中，令，得，即，

由（1）得，解得，，即，则.

若直线的斜率不存在，则直线为，可知，，则，由，可得；

若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，联立，消去得，

则，整理得，

，，

所以，

因为，所以，，即，

所以.

综上所述，实数的取值范围为.