Question

已知函数，.

（1）求过点且与曲线相切的直线方程；

（2）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）设切点为，对函数求导，可得到切线斜率，再结合，二者联立可求出切点坐标，及的值，进而可求得切线方程；

（2）对函数求导，分，和三种情况，分别讨论函数的单调性，可知当时，有两个极值点，从而可得到，再结合，，从而要证，只需证明即可，构造函数，利用导函数证明，即可证明结论成立.

（1）由，可得，

设切点为，则切线斜率为，，

故，解得，故，

所以切线方程为，即.

（2），，

则，

①当，即时，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；

②当时，令，则，解得不成立，舍去，成立，此时在上单调递减，在上单调递增，只有一个极值点，不符合题意；

③当时，令，则，解得成立，成立，此时函数有两个极值点，且，，

易知，故，

又，故，

所以要证，即证，

由，可知，

故只需证明即可，

构造函数，则，故函数在上单调递增，

∴，即成立，

所以.