Question

已知定义在上的奇函数满足，且时有，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：

甲：；   

乙：函数在上是增函数；

丙：函数关于直线对称；

丁：若，则关于的方程在上所有根之和为.

其中正确的是（   ）

A.乙、丁 B.乙、丙 C.甲、乙、丙 D.乙、丙、丁

Answer

B

【解析】

甲：利用奇函数的性质，结合已知的等式和函数的解析式直接求解即可；

乙：根据奇函数的性质求出函数在上的解析式，这样可以求出函数在上的解析式，再利用等式可以求出函数在上的解析式，并判断出单调性，再根据奇函数的单调性的性质判断出函数在上的单调性；

丙：根据已知等式可以求出函数的周期，这样就可以判断是否成立即可；

丁：求出时，函数的解析式，画出函数图象在的图象，结合图象进行判断即可.

甲结论：，故甲结论不正确；

乙结论：当时，，所以当时，

. 由，

因此当时，，显然当，函数是单调递增函数，则有，当，函数是单调递增函数，则有，所以函数在时，是单调递增函数，故由奇函数的单调性的性质可知：函数在上是增函数，故乙结论是正确的；

丙结论：

，所以函数的周期为8，该函数是奇函数，所以，因此有：，所以函数关于直线对称，故丙结论是正确的；

丁结论：由上分析可知当时，，所以当时，根据周期性可知：，所以函数在上的函数图象如下图所示：

由图象可知：在上、上，分别关于直线对称，

而且函数与函数有四个交点，从左到右设为：，因此有，故丁结论不正确.

故选：B