Question

已知函数在上是奇函数.

（1）求实数a的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）求满足不等式的m的取值范围.

Answer

（1）（2）函数在上为增函数，证明见解析，（3）

【解析】

（1）根据奇函数有恒成立，化简求解；

（2）利用定义法，作差求证函数单调递增；

（3）结合奇偶性和单调性，将不等式等价转化为，只需求解.

（1）∵函数在上是奇函数，

∴，∴，化简后得，.

（2）设，为任意两个实数，且，则，

∴，∴，

∴函数在上为增函数，

（3）∵函数为奇函数，

∴，又函数在上单调递增，∴.

当时，，∴，

当时，，∴，

综上m的取值范围为.