Question

设为常数，函数，给出以下结论：

（1）若，则存在唯一零点

（2）若，则

（3）若有两个极值点，则

其中正确结论的个数是（   ）

A.3 B.2 C.1 D.0

Answer

A

【解析】

（1）先根据函数存在零点，得到方程有实根，再令，将问题转为函数图像与直线有交点即可，用导数的方法研究函数单调性和最值，即可得出结论成立；

（2）根据（1）的结果，可判断当时，在上恒成立，从而可得在上恒成立，即可得出结论成立；

（3）先对函数求导，根据题意得到，再将函数有两极值点，转化为方程有两不等式实根来处理，用导数的方法研究其单调性，和值域，进而可得出结论成立.

（1）若函数存在零点，只需方程有实根，即方程有实根，令，则只需函数图像与直线有交点即可.

又，由可得；由可得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故，

因此，当时，直线与图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；

（2）由（1）可知，当时，在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正确；

（3）因为，所以，

若有两个极值点，则，所以，

又由有两个极值点，可得方程有两不等实根，即方程有两不等式实根，令，则，

由得；由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，又当时，；当时，；

所以方程有两不等式实根，只需直线与函数的图像有两不同交点，故；所以，即（3）正确.

故选A