Question

已知点到直线的距离比点到点的距离多.

（1）求点的轨迹方程；

（2）经过点的动直线与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在满足条件的定点,详见解析

【解析】

(1)根据抛物线的定义可得解；

(2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解.

（1）由题知，点到直线的距离，

故点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，

所以其方程为；

（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点必在轴上，可设其坐标为.

此时，

设，，则，

由题知直线的斜率存在，设其方程为，与联立得，

则，，

，

故，即存在满足条件的定点.