Question

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）．

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．

Answer

（1）=

（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．

【解析】

（1）由题意：当时，；

当时，设，

显然在是减函数，

由已知得，解得

故函数

=

（2）依题意并由（1）可得

当时，为增函数，故；

当时，，

．

所以，当时，的最大值为．

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．