Question

在平面直角坐标系中，已知.

（1）求；

（2）将绕点逆时针旋转45°到，求点的坐标；

（3）若将绕点逆时针旋转90°到，求证：.

Answer

（1）；（2）（）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用向量的夹角公式计算可得；

（2）设与轴正方向的夹角为，则根据三角函数的定义可得：，，则再根据两角和的正弦余弦公式计算可得；

（3）过作的垂线，垂足为，再根据三角形面积公式及向量数量积的定义式即可证明.

【解析】
（1）

显然为向量的夹角

因为

所以

（2）设与轴正方向的夹角为，则根据三角函数的定义可得：

，

所以

而

故点坐标为

（3）证明：过作的垂线，垂足为

因为

即