Question

已知

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：时，成立.

Answer

(1)增区间为，减区间为；(2)证明见解析.

【解析】

试题

(1)由题意可得函数的解析式为：，结合复合函数的单调性可得函数的增区间为，减区间为；

(2)由题意可得原式，结合均值不等式的结论和三角函数的性质可得：，而均值不等式的结论是不能在同一个自变量处取得的，故等号不成立，即题中的结论成立.

试题解析：

(1)解:由已知,

所以,

令得，

由复合函数的单调性得的增区间为，减区间为；

（2）证明:时，，，,当时取等号，

,    

设，由得，且,

从而,

由于上述各不等式不能同时取等号，所以原不等式成立.