Question

已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点.

（1）求实数n的值并写出的表达式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数t的范围；

（3）若方程恰有4个互异的实数根，求实数a的范围.

Answer

（1），（2）（3）

【解析】

（1）首先求得指数函数的解析式，再根据定义在上的奇函数，得到，由此求得的值并求得的表达式.

（2）根据的单调性和奇偶性化简不等式，得到，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

（3）根据函数为奇函数化简，根据是单调函数得到，利用换元法，构造函数，结合图像求得的取值范围.

（1）由题意可设个，又过点得，

所以，又为奇函数，∴得

所以

（2）由，在上单调递减，

又为奇函数，由得

所以，即

令，由题意得，

（3）由于为奇函数，所以由得，又在上递减，

显然，∴令，则

方程有4个互异实数根，画出的图象如下图所示，由图可得.