Question

已知抛物线：，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且线段的中点坐标为，其中.直线：与抛物线交于，两点.

（1）证明：；

（2）若直线与圆：交于，两点，证明：.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）设，，代入抛物线方程，两式作差，结合中点坐标公式得出，再根据在抛物线内部，即可证明；

（2）利用圆的弦长公式得出，由弦长公式得出，进而得出，开方即可得出.

（1）证明：设，，则，两式相减得，

显然，

故，即，

因为，所以，

易知在抛物线内部，故，

故，

故.

（2）证明：依题意，圆：

故圆心到直线的距离，所以

所以

由，消去并整理得：

由，得，

设，，则，，

，

故，即.

所以.