Question

对数函数（且）和指数函数（且）互为反函数.已知函数，其反函数为．

（1）若函数定义域为，求实数的取值范围．

（2）若为定义在上的奇函数，且时，．求的解析式．

（3）定义在上的函数，如果满足：对任意的，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中为函数的上界.若函数，当时，探究函数在上是否存在上界，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）k＞1，（2），（3）见解析

【解析】

（1）根据对数函数的定义域为R，转化为kx2+2x+1 > 0恒成立，进行求解（2）根据奇函数的性质及时的解析式即可求函数的解析式（3）利用分子常数化，结合上界的定义分别进行判断、求解即可.

（1）由题意知，，

的定义域为R，

恒成立，

当时，不满足条件，

当时，若不等式恒成立，

则，即.

（2）时，，

设，则，

，

为定义在上的奇函数，

，

当时，，

，

综上

（3），

当，

则在上单调递减，

，

①若，即时，存在上界M，，

②若，即时，存在上界M，，

(ii) 当时，

①若时，在，上单调递增，，，存在上界，，，

②若时，在，上单调递增，，，故不存在上界．

③若时，在，上单调递增，在，上单调递增，，，故不存在上界，

④若，在，上单调递增，，，故不存在上界

⑤若，在，上单调递增，，，而，存在上界，，；

综上所述，当时，存在上界，，，

当时，不存在上界，

当时，存在上界，，，

当，时，存在上界，，，

当，时，存在上界，，．