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已知椭圆C:. (1)求椭圆C的离心率; (2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在...

已知椭圆C.

1)求椭圆C的离心率;

2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点?试证明你的结论.

 

(1)(2)以为直径的圆经过轴上的定点和,证明见解析 【解析】 (1)先将转化为,根据椭圆的性质得到,即可求出离心率. (2)根据椭圆方程求出,设,则①,分别求出直线和的方程,再分别与相交于点 和,设以为直径的圆经过轴上的定点,则,即得②,将①代入②得 解得或,得出为直径的圆是过定点和. 【解析】 (1)由得, 那么 所以 解得,所以离心率 (2)由题可知, 设,则① 直线的方程: 令,得,从而点坐标为 直线的方程: 令,得,从而点坐标为 设以为直径的圆经过轴上的定点,则 由得② 由①式得,代入②得 解得或 所以为直径的圆经过轴上的定点和.
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已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.

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