Question

正方体的棱长为1，分别为的中点.有下述四个结论：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③平面截正方体所得的截面面积为；④直线与直线所成角的正切值为；其中所有正确结论的编号是（    ）

A.②③ B.②④ C.①③ D.③④

Answer

A

【解析】

①利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；②作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；③作出截面，再根据梯形的面积公式求需要的线段长；④利用平移的思想，将两条异面直线平移在同一个平面内，然后结合余弦定理求夹角的余弦值，再转化为正切值．

对于①，因为，若，则，从图中可以看出，

与相交，但不垂直，所以①错误；

对于②，如图所示，取的中点，连接、，则有，，

因为，，所以平面平面．

又因为平面，所以平面，即②正确；

对于③，如图所示，连接，，延长，交于点，

因为，分别为，的中点，所以，所以、、、四点共面，所以截面即为梯形．

因为，所以，即，所以

又，所以即，，

所以等腰△的高，梯形的高为，

所以梯形的面积为，所以③正确；

对于④，因为，所以直线与直线所成角即为所求．

在三角形中，，由余弦定理得，，

因为直线的夹角范围为，，所以直线与直线所成角的正切值为3．所以④错误．

故选：．