Question

已知向量，向量，且函数.

(1)求函数的单调递增区间及其对称中心；

(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且角A满足.若，BC边上的中线长为3，求的面积S.

(3)将函数的图像向左平移个长度单位，向下平移个长度单位，再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的后得到函数的图像，令函数在的最小值为，求正实数的值.

Answer

(1)单调递增区间:，对称中心;(2);(3)

【解析】

（1）根据平面向量数量积的定义,结合诱导公式及正余弦二倍角公式化简即可得函数解析式.进而求得单调区间及对称中心.

（2）将代入（1）中所得解析式,即可由求得.结合向量的加法与减法运算和BC边上的中线长,即可求得.再根据三角形面积公式即可求解.

（3）根据函数的平移变换,即可求得的解析式.代入后表示出的解析式.转化为关于的二次函数性质,通过对分类讨论并结合最小值,即可求得的值.

（1）因为代入向量,向量,结合诱导公式及正余弦的二倍角公式化简可得

所以

函数的单调递增区间满足

解得

所以函数的单调递增区间为

令,解得

则对称中心

（2）,得,

则,

∴

又①,

BC上的中线长为3,则②

由①②知:

即,所以

∴

（3）由题意将函数的图像向左平移个长度单位可得

向下平移个长度单位,可得

再横坐标不变,纵坐标缩短为原来的后得到函数,则

则,

所以,,

①当时,当时,有最小值,解得.

②当时,当时,有最小值,

(舍去),

综上可得.