Question

如图，棱长为1的正方体中，是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）．

①异面直线与所成的角为

②

③三棱锥的体积为定值

④的最小值为2．

A.①②③ B.①②④ C.③④ D.②③④

Answer

A

【解析】

①根据异面直线所成的角的定义即可判断；

②由线面垂直的性质即可判断；

③先求得M到平面DCC1D1的距离再利用锥体体积公式求解；

④将问题转化为平面图形中线段AD1的长度，利用余弦定理解三角形解得即可判断.

①∵∥BC，

∴异面直线与所成的角即为BC与所成的角，

可得夹角为，故①正确；

②连接，

∵平面A1BCD1，

平面A1BCD1，

∴，

故②正确；

③∵∥平面DCC1D1，

∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,

又△DCC1的面积为定值,

因此三棱锥M−DCC1的体积为定值,

故③正确；

④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值，

在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,

利用余弦定理解三角形得，

故④不正确.

因此只有①②③正确.

故选：A.