Question

已知函数.

（1）判断函数的零点的个数并说明理由；

（2）求函数零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过；

（3）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）一个，理由见解析；（2）；.

【解析】

（1）分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；

（2）先可求得函数的零点所在的一个区间为，然后利用二分法可得出的一个零点所在的区间，且这个区间的长度不超过；

（3）由题意可知，，利用函数的单调性求出该函数在区间的最大值，将问题转化为关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解出实数的取值范围.

（1）由题易知：函数的定义域为，且在上连续，

，，，

函数和在上都是增函数，

所以，函数在上是增函数，

因此，函数在上有且只有一个零点；

（2）设函数的零点为，由（1）知：，，，

取，，

，且， 即为符合条件的区间；

（3）当时，对于任意的，不等式恒成立等价于

，，.

由函数在上是增函数，可知，

对任意恒成立，对任意恒成立，

，解得，

因此，的取值范围是.