Question

在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组,在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人按10000人计算,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国APP”的概率均为(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率,),并且是否打开进行学习是彼此相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位:min),得到下面的频数表,以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间.

学习时长/min
频数	10	20	40	20	10

（1）试估计的值;

（2）设表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数.

①求的数学期望和方差;

②若随机变量满足,可认为.假设当时,表示社区处于最佳的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数).

附:若,则,,.

Answer

（1）（2）①,②(min)

【解析】

（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:

,即可求得答案;

（2）根据题意,,根据,,即可求得的数学期望和方差.,当时,,,即可求得答案.

（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:

(min),

而调查总时长为150(min),故.

（2）①根据题意,.

故,

.

②,

当时,,,

.

故.

估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为(min).