已知数列满足，且，（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，求...

已知数列满足，且，

（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）记，求；

（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

（1）证明见解析，；（2）；（3）存在且．【解析】（1）用等差数列的定义证明是等差数列，由可得；（2）用裂项相消法求；（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，不等式变形为，只要求得的最小值即可，可先证是递增的，然后可得最小值．（1）因为，所以，即，所以，所以是等差数列，公差为2，，，所以．（2）由（1），所以．（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，因为，所以，不等式化为，，设，设，则，，，所以，所以是递增数列，，所以．所以存在实数k，使得对任意都成立，且．

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考点分析：

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为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：

小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；