Question

已知函数．

（1）求的解集；

（2）已知函数，当时，、是的两个零点，证明：．（可能用到的参考结论：函数在区间上单调递减）

Answer

（1）当时，解集为，当或时，解集为．（2）见解析．

【解析】

（1）按和分类讨论；

（2）首先有，,，然后化简不等式为，为了进一步化简，不妨设，则有，利用可化二元不等式为一元不等式，然后利用函数的单调性得证．

（1），当，即时，不等式解集为；

当，即或时，的根为，，

不等式的解集为．

综上，当时，解集为，当或时，解集为．

（2）由（1），,

（∵），

不妨设，则，，

，即，，

设，则，

∴函数在区间上单调递减，

∴时，．

∴原不等式成立．