Question

已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；

（3）若函数在的最大值为2，求实数的值.

Answer

(1) .

(2) .

(3)

【解析】

(1)根据倍角公式中的降幂公式，合并化简，得到）.可求得最小正周期。

（2）根据正弦函数的单调区间，求得∴的递增区间为

再判断在区间上是增函数条件下的取值情况即可。

（3）化简的表达式得到.利用换元法令，得到关于t的二次函数表达式。对分类讨论，判断在取不同范围值时y的最值，从而求得的值。

（1）

. 

∴.

（2）.

由得，

∴的递增区间为

∵在上是增函数，

∴当时，有.

∴解得

∴的取值范围是.

（3）.

令，则.

∴ .

∵，由得，

∴.

①当，即时，在处.

由，解得（舍去).

②当，即时，，由

得解得或（舍去）.

③当，即时，在处，由得.

综上，或为所求.