Question

三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求证：平面；

(3)求三棱锥的体积.

Answer

(1)见解析；(2)见解析；(3).

【解析】

(1)要证平面平面，只需证明其中一个平面内一条直线垂直于另一个平面即可，易证平面；

(2)要证平面，只需设法在平面知道一条直线与平行即可，故连结交于，则为的中点，再结合为边中点，可得；

(3)要求三棱锥的体积，只需确定底面和相应的高，而以为底面的三棱锥的底面面积和高不易求出，发现可变换为以为底面，为高的三棱锥来求解.

(1)因为平面，平面，所以，

因为为等边三角形，为边中点，所以，

又，平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

(2)连结交于，则为的中点，连结.

在中，为的中点，为边中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(3) 三棱柱中，，又平面，

所以平面，所以为三棱锥的高，

在等边中，，为边中点，

所以，，，

所以，

所以.