Question

如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC．

（Ⅱ）求证：AB⊥PB；

（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．

Answer

（Ⅰ）详见答案；（Ⅱ）详见答案；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由于点D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA（中位线）．由直线与平面平行的判定方法知，DE∥平面PAC．

（Ⅱ）由PC⊥底面ABC得，．又因AB⊥BC，由直线与平面垂直的判定方法知，平面 ，所以AB⊥PB．

（Ⅲ）由（2）知，PB⊥AB，BC⊥AB，所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．易知为等腰直角三角形，所以∠PBC＝45°，即二面角P—AB—C的大小为.

（1）证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，

所以DE∥PA．

因为PA平面PAC，且DE平面PAC，

所以DE∥平面PAC．

（2）因为PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，

所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．

所以AB⊥平面PBC．

又因为PB平面PBC，

所以AB⊥PB．

（3）由（2）知，PB⊥AB，BC⊥AB，

所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．

因为PC＝BC，∠PCB＝90°，

所以∠PBC＝45°，

所以二面角P—AB—C的大小为45°．