Question

已知二次函数，有两个零点为和．

（1）求、的值；

（2）证明：；

（3）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；

（4）求在区间上的最小值．

Answer

（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.

【解析】

（1）利用韦达定理可得出关于实数、的方程组，即可求出这两个未知数的值；

（2）直接计算和f1−x，可证明出；

（3）任取，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数在区间上是增函数；

（4）分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最小值的表达式.

（1）由韦达定理得，解得；

（2）由（1）知，

，，

因此，；

（3）任取，则，

，，，，即，

因此，函数在区间上是增函数；

（4）当时，函数在区间上为减函数，此时；

当时，函数在区间上减函数，在区间上为增函数，

此时.

综上所述，.