Question

已知函数.

（1）直接写出的零点；

（2）在坐标系中，画出的示意图（注意要画在答题纸上）

（3）根据图象讨论关于的方程的解的个数:

（4）若方程，有四个不同的根、、、直接写出这四个根的和；

（5）若函数在区间上既有最大值又有最小值，直接写出a的取值范围．

Answer

（1）和；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）；（5）.

【解析】

（1）解方程即可得出函数的零点；

（2）根据绝对值翻折变换可作出函数的图象；

（3）将方程的解的个数转化为函数和图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；

（4）根据函数可得出的值；

（5）求方程在时的解，利用图象可得出实数的取值范围.

（1）解方程，即，解得或，

所以，函数的零点为和；

（2）函数的图象是将函数的图象位于轴下方的图象关于轴对称，位于轴上方的图象保持不变而得到，则函数的图象如下图所示：

（3）方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示：

当时，方程无实根；

当或时，方程有个实根；

当时，方程有个实根；

当时，方程有个实根.

综上所述，当时，方程无实根；当或时，方程有个实根；当时，方程有个实根；当时，方程有个实根；

（4）由图象可知，函数的图象关于直线对称，因此，；

（5）当时，解方程，解得，

由图象可知，当时，函数在区间上既有最大值，又有最小值，

故实数的取范围是.