Question

已知函数.

（1）求证：是上的奇函数；

（2）求的值；

（3）求证：在上单调递增，在上单调递减；

（4）求在上的最大值和最小值；

（5）直接写出一个正整数，满足．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）利用奇偶性的定义证明即可；

（2）代值计算即可得出的值；

（3）任取，作差，通分、因式分解后分和两种情况讨论的符号，即可证明出结论；

（4）利用（3）中的结论可求出函数在区间上的最大值和最小值；

（5）可取满足的任何一个整数，利用函数的单调性和不等式的性质可推导出成立.

（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，

且，因此，函数是上的奇函数；

（2）；

（3）任取，.

当时，，，，则；

当时，，，，则.

因此，函数在上单调递增，在上单调递减；

（4）由于函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取最大值，即；

当时，，

所以，当时，函数取最小值，即.

综上所述，函数在上的最大值为，最小值为；

（5）由于函数在上单调递减，

当时，，

所以，满足任何一个整数均满足不等式.

可取，满足条件.