Question

设函数，，且对所有的实数，等式都成立，其、、、、、、、，、．

（1）如果函数，，求实数的值；

（2）设函数，直接写出满足的两个函数；

（3）如果方程无实数解，求证：方程无实解．

Answer

（1）；（2），，答案不唯一；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据已知条件直接代入计算即可；

（2）验证满足条件，再者若，则等式也满足，由此可得出符合条件的函数的两个不同的解析式；

（3）假设方程有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立.

（1），，则，

，

，，解得；

（2）若，则，，此时；

若，则，，此时.

所以，当时，满足的函数的两个解析式可以是，（答案不唯一）；

（3）假设方程有实数解，设，

则，，

两式相减得，所以，，

由零点存在定理可知，存在，使得，

无实根，则永远不成立，推出假设不成立.

所以，方程无实数解，方程也无实解.