Question

已知圆，直线，

（1）求证：直线恒过定点；

（2）判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短?并求截得的弦长最短时，求的值以及最短长度.

Answer

（1）证明见解析（2）直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，直线时，直线被圆截得的弦长最短，，

【解析】

（1）将直线方程变形,即可求得所过定点的坐标.

（2）当直线经过圆心时,与圆相交所得弦长最长,为直径;当与这条直径所在直线垂直时,所得弦长最短.由垂径定理即可求得弦最短值,结合点到直线距离公式即可求得的值.

（1）证明：直线的方程可化为

联立解得

所以直线恒过定点

（2）当直线过圆心时,直线被圆截得的弦长最长.

当直线时,直线被圆截得的弦长最短

直线的斜率为,

由两点间距离公式可知

因为两直线垂直,由两直线垂直的斜率关系可知

解得

此时直线的方程是

圆心到直线的距离为

所以最短弦长是