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已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最...

已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

 

C 【解析】 根据题意,画出三棱锥,将三棱锥补全为四棱柱,则四棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.由球的表面积,可得四棱柱底面两边的等量关系.表示出三棱锥的体积,即可根据不等式性质求得体积的最大值. 根据题意,画出三棱锥,将三棱锥补全为四棱柱,如下图所示: 则四棱柱的外接球即为三棱锥的外接球. 设 则球的半径为 所以由球的表面积为可得 化简可得 所以三棱锥的体积为 由不等式性质可知,所以 所以 即三棱锥的体积的最大值为 故选:C
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